ศักย์ไฟฟ้า

ศักย์ไฟฟ้า

             เมื่อวัตถุอยู่ในสนามโน้มถ่วงของโลก พลังงานของวัตถุประกอบด้วยพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ ซึ่งพลังงานศักย์โน้มถ่วงอันเนื่องจากแรงดึงดูดที่โลกกระทำต่อวัตถุขึ้นกับระดับที่วัดจากระดับอ้างอิง ในทำนองเดียวกัน เมื่อประจุอยู่ในบริเวณที่มีสนามไฟฟ้าประจุก็จะมีพลังงานศักย์เนื่องจากแรงไฟฟ้าที่กระทำต่อประจุเช่นกัน พลังงานศักย์ของประจุไฟฟ้าในกรณีนี้หาได้อย่างไรจะได้ศึกษาต่อไป

 

 
รูป 15.33  พลังงานศักย์โน้มถ่วง

             เมื่อพิจารณารูป 15.33 จะเห็นว่าในการยกวัตถุมวล m จาก A ขึ้นไปถึง B เราต้องทำงาน นั่นคือ พลังงานศักย์ของวัตถุที่ B มีค่ามากว่าที่ A เท่ากับ mgh และเมื่อกำหนดให้ระดับความสูงที่ระดับ A เท่ากับศูนย์ คือเป็นระดับอ้างอิงนั่นคือพลังงานศักย์ของวัตถุที่ A เป็นศูนย์ปริมาณ mgh คือ พลังงานศักย์โน้มถ่วงของวัตถุมวล m ที่ B ดังนั้นเมื่อปล่อยวัตถุจาก B วัตถุจะตกกลับมาสู่ระดับเดิมเนื่องจากสนามโน้มถ่วงโลกทำงาน
            ในทำนองเดียวกัน เมื่อพิจารณาประจุในบริเวณที่มีสนามไฟฟ้าก็จะพบว่าประจุจะได้รับแรงกระทำจากสนามไฟฟ้า ซึ่งทำให้ประจุเคลื่อนที่และมีงานเกิดขึ้น ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าประจุเมื่ออยู่ตำแหน่งต่างๆ ที่มีสนามไฟฟ้าจะมีพลังงานศักย์ที่เรียกว่า พลังงานศักย์ไฟฟ้า
              เมื่อนำประจุ q ไปไว้ที่ตำแหน่งหนึ่งที่มีพลังงานศักย์ไฟฟ้าเป็น \frac{{E_p}}{q} พลังงานศักย์ไฟฟ้าต่อ 1 หน่วยประจุที่ตำแหน่งนั้นจะมีค่าเป็น  เรียกปริมาณนี้ว่า ศักย์ไฟฟ้า ณ ตำแหน่งนั้น และเมื่อให้ V เป็นศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งนั้น จะได้ว่า
V=\frac{{E_p}}{q}   (15.5)
             ศักย์ไฟฟ้าเป็นปริมาณสเกลาร์ เพราะศักย์ไฟฟ้าเป็นพลังงานต่อหนึ่งหน่วยประจุเนื่องจากพลังงานศักย์ไฟฟ้ามีหน่วยเป็นจูล (J) ประจุมีหน่วยเป็นคูลอมบ์ (C) ศักย์ไฟฟ้าจึงมีหน่วยเป็น จูลต่อคูบอมบ์ ซึ่งเรียกว่าโวลต์ (V)
               ในกรณีสนามโน้มถ่วงของโลก พลังงานศักย์โน้มถ่วงของวัตถุที่ตำแหน่งต่างๆ ขึ้นกับความสูงของวัตถุเมื่อเทียบกับระดับอ้างอิง ซึ่งจะอยู่ที่ระดับดำก็ได้แล้วแต่จะกำหนด และให้ระดับอ้างอิงนี้มีพลังงานศักย์โน้มถ่วงเป็นศูนย์ ในการหาพลังงานศักย์ไฟฟ้าของประจุที่ตำแหน่งต่างๆ ก็ต้องกำหนดระดับอ้างอิงเช่นกัน
                เมื่อพิจารณารูป  15.34 จะเห็นว่าในการเคลื่อนประจุ +q ซึ่งอยู่ในบริเวณที่มีสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ
\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}\overE}จาก A  ไปยัง  B  ด้วยอัตราเร็วคงตัว เราต้องออกแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}\overF}  ซึ่งมีขนาดเท่ากับขนาดของแรงที่สนามไฟฟ้ากระทำต่อประจุ +q  คือ qE หรือกล่าวได้ว่า เราต้องทำงานในการเคลื่อนประจุ +q จาก A ไป B แสดงว่าพลังงานศักย์ไฟฟ้าของประจุ +q ที่ B มีค่ามากกว่าที่ A หรือศักย์ไฟฟ้าที่ B สูงกว่าที่ A เมื่อปล่อยให้ประจุ +q เคลื่อนที่โดยอิสระ แรงเนื่องจากสนามไฟฟ้าก็จะทำให้ประจุ +q เคลื่อนที่ในทิศของสนามไฟฟ้า คือจาก B มา A

 
รูป 15.34  การเคลื่อนที่ประจุจาก A ไป B

            นั่นคือ เมื่อปล่อยให้ประจุเคลื่อนที่อิสระโดยประจุบวกจะเคลื่อนที่จากตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้าสูงมายังตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้าต่ำกว่าเช่นเดียวกับการตกแบบเสรีของวัตถุภายใต้อิทธิพลของสนามโน้มถ่วง และสนามไฟฟ้ามีทิศจากตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้าสูงไปยังตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้าต่ำ

                - เมื่อประจุ -q มาไว้ที่ตำแหน่ง A ในรูป 15.34 แล้วปล่อยให้เคลื่อนที่โดยเสรีประจุ -q จะเคลื่อนที่ไปในทิศใด เพราะเหตุใด

           ถ้าให้ศักย์ไฟฟ้าที่ B และที่ A เป็น V_Bและ V_A  ตามลำดับ  ผลต่างของศักย์ไฟฟ้า V_B-V_Aระหว่างสองจุดนี้ เรียกว่า ความต่างศักย์ไฟฟ้า หรือความต่างศักย์ และถ้าให้พลังงานในการเคลื่อนที่ประจุ +q  จากจุด A ไปยังจุด B ด้วยอัตราเร็วคงตัวเป็น W งานในการเคลื่อนประจุ +1 หน่วยจาก A ไป B จะมีค่าเท่ากับ \frac{W}{q} แสดงว่าศักย์ไฟฟ้าที่ B มากกว่าที่ A เท่ากับ \frac{W}{q} จึงกล่าวได้ว่า งานที่เกิดขึ้นในการเคลื่อนที่ประจุ +1 หน่วยจากตำแหน่งหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่ง ภายในบริเวณที่มีในสนามไฟฟ้า คือ ความต่างศักย์ระหว่างสองตำแหน่งนั้น  
           จึงเขียนเป็นสมการได้ว่า           V_B-V_A=\frac{W}{q}     (15.6)

  เนื่องจากความต่างศักย์เป็นค่าของงานต่อหนึ่งหน่วยประจุ จึงมีหน่วยเป็นโวลต์เช่นเดียวกับหน่วยของศักย์ไฟฟ้า และเป็นปริมาณสเกลาร์

                -       ความต่างศักย์ระหว่าง A กับ B มีค่า 5 โวลต์ หมายความว่าอย่างไร
             จากสมการ (15.6) ถ้าให้ V_A เป็นศูนย์ จะได้  V_B-V_Aเท่ากับ  V_B-0เท่ากับ V_B หรือกล่าวได้ว่าศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งใดๆ คือความต่างศักย์ระหว่างตำแหน่งนั้นกับตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์

             ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ

              ได้ศึกษาแล้วว่า ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งใดๆ คือ งานที่ต้องทำในการนำประจุ +1 หน่วยจากตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์มายังตำแหน่งนั้น เราจะหางานนี้ได้อย่างไร
พิจารณาจุด  A   และ B  ซึ่งอยู่ห่างจากจุดประจุ  Q  ออกมาเป็นระยะ R_A และ R_Bตามลำดับ โดยจุดประจุ Q จุด A และจุด B อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันดังรูป 15.35 ถ้าเคลื่อนประจุ +q จาก A ไปยัง B ด้วยอัตราเร็วคงตัว เราต้องออกแรง F โดยขนาดของ F จะเท่ากับขนาดของแรงที่สนามต่อต้านการเคลื่อนที่ของประจุ งานที่เกิดขึ้นเนื่องจากการเคลื่อนประจุ +q จาก A ไป B หาได้ดังนี้
 
รูป 15.35 งานในการเคลื่อนประจุจาก A ไป B

             แบ่งระยะจาก A ถึง B ออกเป็นช่วงสั้นๆ โดยแต่ละช่วงต้องสั้นเพียงพอที่จะถือได้ว่าขนาดของแรงตลอดช่วงนั้นๆ มีค่าคงตัว ซึ่งจะหางานได้จาก W  =  Fs
              ถ้าให้งานในการเคลื่อนประจุ +q จากตำแหน่ง A ไปยังตำแหน่งที่ 1 เป็น W_A1จะได้ว่า
  W_{1A}=F(r_A-r_1)
             แต่ F=\frac{{KQq}}{{r^2}} ซึ่งถือว่าคงตัวในช่วงสั้นๆจากตำแหน่ง A ถึงตำแหน่งที่ 1 นั่นคือประมาณว่า r เปลี่ยนน้อยมาก หรือกล่าวได้ว่า R_A  มีค่าใกล้เคียง  R_1 มากจนถือได้ว่า r^2\congr_Ar_1
               ดังนั้น  W_{1A}=\frac{{KQq}}{{r_Z r_1}}(r_A-r_1)=KQq(\frac{1}{{r_1}}-\frac{1}{{r_A}})
               ในทำนองเดียวกัน W_{21}=KQq(\frac{1}{{r_2}}-\frac{1}{{r_1}})
W_{32}=KQq(\frac{1}{{r_3}}-\frac{1}{{r_2}})
W_{Bn}=KQq(\frac{1}{{r_B}}-\frac{1}{{r_n}})

               ดังนั้นงานทั้งหมด W ที่ต้องทำในการเคลื่อนประจุ +Q จาก A มา B มีค่า
W=W_{1A}+W_{21}+W_{32}+...+W_{Bn}
 =KQq\left\{{(\frac{1}{{r_1}}-\frac{1}{{r_A}})+(\frac{1}{{r_2}}-\frac{1}{{r_1}})+(\frac{1}{{r_3}}-\frac{1}{{r_2}})+ ... +(\frac{1}{{r_B}}-\frac{1}{{r_n}})}\right\}

 W=KQq(\frac{1}{{r_B}}-\frac{1}{{r_A}})
               เพราะฉะนั้น  \displaystyle\frac{W}{q}=KQq(\frac{1}{{r_B}}-\frac{1}{{r_A}})
 แต่    \frac{W}{q}  คือ ความต่างศักย์ระหว่าง A กับ B ดังนั้น  V_B-V_A=\frac{{KQ}}{{r_B}}-\frac{{KQ}}{{r_A}}
 
             โดยทั่วไป นิยมกำหนดให้ ตำแหน่งที่วัดจากประจุเป็นระยะทางไกลมากๆ (บางครั้งเรียกว่าระยะอนันต์) เป็นตำแหน่งที่มีศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์  
               ดังนั้นถ้าให้จุด A อยู่ที่ระยะอนันต์ ศักย์ไฟฟ้าที่ A มีค่าเป็นศูนย์ เพราะฉะนั้น  V_B=\frac{{KQ}}{{r_B}}
               นั่นคือ ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งซึ่งอยู่ห่างจากจุดประจุ Q เป็นระยะ r หาได้จาก
  V=\frac{{KQ}}{r}      (15.7)

             การกำหนดให้ตำแหน่งที่ระยะอนันต์มีศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์ทำให้ ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งใดคืองานในการนำประจุ +1 หน่วยจากระยะอนันต์มายังตำแหน่งนั้น 
          ศักย์ไฟฟ้าจะมีค่าเป็นบวกหรือลบขึ้นกับชนิดของประจุที่ทำให้เกิดสนาม เช่น ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งต่างๆ ในบริเวณที่สนามไฟฟ้าของประจุบวกจะมีค่าเป็นบวก

 
รูป 15.36 ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ q_1,q_2และ q_3

                ในกรณีที่ตำแหน่งที่พิจารณามีสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุหลายๆ จุดประจุ ศักย์ไฟฟ้าลัพธ์ที่ตำแหน่งนั้นคือผลรวมทางพีชคณิตของศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุแต่ละจุด เช่นในรูป 15.36 เมื่อ V_1 , V_2  และ V_3 เป็นศักย์ไฟฟ้าที่ A เนื่องจากจุดประจุ q_1 , q_2 และ q_3ตามลำดับ ศักย์ไฟฟ้า V ที่ A เนื่องจากจุดประจุทั้ง 3 จะมีค่าเป็น     V=V_1+V_2+V_3 
                 ดังนั้น ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งหนึ่งเนื่องจาก  n จุดประจุ จึงเขียนสมการได้ว่า        V=\sum\limits_{i=1}^n{V_i}   (15.8)
          เมื่อ V  คือ ศักย์ไฟฟ้ารวมที่ตำแหน่งหนึ่ง
            V_1 คือ ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งนั้นเนื่องจากจุดประจุแต่ละประจุ
 
             ตัวอย่าง 15.6  ที่ตำแหน่ง O, P และ Q มีประจุ 3.0x10^{-6},-1.0x10^{-6}และ 1.0x10^{-6}คูลอมบ์ ตามลำดับ ดังรูป 15.37 เมื่อ OR เท่ากับ 0.6 เมตร PR เท่ากับ 0.3 เมตร และ QR เท่ากับ 0.1 เมตร จงหา
          ก. ศักย์ไฟฟ้าที่ R
          ข. งานที่ต้องทำในการนำประจุ 2.4x10^{-6}คูลอมบ์
จากระยะอนันต์มายังจุด R

 
รูป 15.37 ศักย์ไฟฟ้าที่จุด R

             วิธีทำ  ก.ศักย์ไฟฟ้าที่ R เป็นผลรวมพีชคณิตของศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งนี้เนื่องจากประจุที่ O, P และ Q
 จาก  V=\frac{{KQ}}{r}

                ศักย์ไฟฟ้าที่ R เนื่องจากประจุที่  O=\frac{{9.0x10^9Nm^2/C^2 x3.0x10^{-6}C}}{{(0.6m)}}
                =4.5x10^4 
               ศักย์ไฟฟ้าที่ R เนื่องจากประจุที่  P=\frac{{9.0x10^9Nm^2/C^2x(-1.0x10^{-6}C)}}{{(0.3m)}}

               ศักย์ไฟฟ้าที่ R เนื่องจากประจุที่  Q=\frac{{9.0x10^9Nm^2/C^2x1.0x10^{-6}C)}}{{(0.1m)}}

                                                                                      9.0x10^4
               ดังนั้น ศักย์ไฟฟ้าที่ R มีค่าเป็น  V_R=(4.5x10^4V)+(-3.0x10^4V)+(9.0x10^4V)
                                                                                    10.5x10^4V

              ข.จากสมการ V_B-V_A=\frac{W}{q}
                 ถ้าให้ A อยู่ที่ระยะอนันต์ และ B อยู่ที่ตำแหน่ง R
                V_R=\frac{W}{q}
                W=qV_R=(2.4x10^{-6}C)x(10.5x10^4V)=0.25J
              คำตอบ  ก.  ศักย์ไฟฟ้าที่ R เท่ากับ 1.05x10^5โวลต์
                              ข.  ในการนำประจุ 2.4x10^{-6}คูลอมบ์ จากระยะอนันต์มายัง R ต้องทำงาน 0.25 จูล
 

               ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากประจุบนตัวนำทรงกลม 
              ได้ทราบมาแล้วว่า เมื่อให้ประจุแก่ตัวนำทรงกลม ประจุจะกระจายบนผิวของตัวนำอย่างสม่ำเสมอ ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งต่างๆเนื่องจากประจุที่กระจายอยู่บนผิวของตัวนำทรงกลมมีค่าเท่าใดจะได้ศึกษาต่อไป
               เมื่อให้ประจุ Q แก่ตัวนำทรงกลม รัศมี a ประจุจะกระจายบนผิวอย่างสม่ำเสมอ ทำให้สนามไฟฟ้าภายในตัวนำทรงกลมมีค่าเป็นศูนย์ ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งใดๆ ภายในตัวนำทรงกลมมีค่าเท่าใด พิจารณาได้ดังนี้ เนื่องจากสนามไฟฟ้าภายในทรงกลมเป็นศูนย์ จึงไม่มีแรงเนื่องจากสนามไฟฟ้ากระทำต่อประจุ ดังนั้นในการเคลื่อนประจุจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งภายในตัวนำทรงกลมจึงไม่ต้องทำงาน แสดงว่า ความต่างศักย์ระหว่างสองจุดใดๆ ภายในตัวนำทรงกลมเป็นศูนย์  นั่นคือศักย์ไฟฟ้าที่จุดใดๆ ภายในตัวนำทรงกลมมีค่าเท่ากัน
                จากการที่ประจุกระจายบนตัวนำทรงกลมเปรียบเสมือนรวมกันอยู่ที่ศูนย์กลางของทรงกลมเป็นจุดประจุ ดังนั้นศักย์ไฟฟ้าที่ผิวทรงกลม จึงมีค่าเป็น \frac{{KQ}}{a}   เมื่อ a  คือรัศมีของทรงกลม แต่ศักย์ไฟฟ้าที่ผิวมีค่าเท่ากับศักย์ไฟฟ้าที่จุดใดๆภายในตัวนำทรงกลมดังได้กล่าวมาแล้ว จึงสรุปได้ว่าศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งใดๆ ภายในทรงกลมเท่ากับ\frac{{KQ}}{a}   
                 เมื่อพิจารณาที่จุด A ซึ่งอยู่นอกผิวตัวนำทรงกลม และห่างจากศูนย์กลางของทรงกลมเป็นระยะ r ก็จะพบว่าศักย์ไฟฟ้าที่จุด A มีค่าท่ากับ \frac{{KQ}}{r}    ทั้งนี้เพราะประจุบนตัวนำทรงกลมเสมือนกับไปรวมกันอยู่ที่ศูนย์กลางของทรงกลมเป็นจุดประจุ
 ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งต่างๆ เนื่องจากประจุบนตัวนำทรงกลมจึงแสดงได้ดังรูป 15.38

 
รูป 15.38 ศักย์ไฟฟ้าและสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุบนตัวนำทรงกลม

             ความสัมพันธ์ระหว่างความต่างศักย์และสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ 
            ได้ทราบมาแล้วว่างานที่เกิดขึ้นในการเคลื่อนประจุ +1 หน่วยจากตำแหน่งหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่งในบริเวณที่มีสนามไฟฟ้า เรียกว่า ความต่างศักย์ระหว่างสองตำแหน่งนั้น ถ้าตำแหน่งที่พิจารณาอยู่ในบริเวณที่มีสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ ความต่างศักย์ระหว่างตำแหน่งสองตำแหน่งจะสัมพันธ์กับสนามไฟฟ้าอย่างไร จะได้ศึกษาต่อไป


 
รูป 15.39 การเคลื่อนประจุในบริเวณที่มีสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ

                ให้ A และ B เป็นตำแหน่งที่อยู่ในบริเวณที่มีสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}\overE} ดังรูป 15.39  โดยอยู่ห่างกันเป็นระยะ d และมีศักย์ไฟฟ้าเป็น V_A และ V_A ตามลำดับ  เมื่อให้ 
                \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}\overF}เป็นแรงที่ทำให้ประจุ +q เคลื่อนที่จาก A ไป B ด้วยอัตราเร็วคงตัว แรงที่สนามต้านการเคลื่อนที่ของประจุ +q คือ qE แรงนี้มีขนาดคงตัว เพราะ E เป็นสนามไฟฟ้าที่สม่ำเสมอ
                ดังนั้น งานที่เกิดขึ้นเนื่องจากการเคลื่อนประจุ +q จาก A ไป B จึงหาได้จาก
                  W   =   Fs
                แต่ F     =  qE และ s  =  d  ดังนั้น  W   =   qEd
                จากสมการ (15.6) V_B-V_A=\frac{W}{q}
                จะได้  V_B-V_A=\frac{qEd}{q}

                หรือ  E=\frac{{V_B-V_A}}{d}

               เมื่อกำหนดให้ V_B-V_A=V
              จะได้  E=\frac{V}{d}  (15.9)
               สมการ (15.9) นี้ใช้ได้สำหรับสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอเท่านั้น และเนื่องจาก V_B-V_A มีหน่วยเป็นโวลต์ d มีหน่วยเป็นเมตร หน่วยของสนามไฟฟ้า E จึงเป็นโวลต์ต่อเมตร