การสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสี

การสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสี

ในการศึกษาการสลายของนิวเคลียสของยูเรเนียม -238 พบว่า นอกจากจะมีทอเรียม -234 และอนุภาคแอลฟาออกมาแล้ว ทอเรียมยังสลายต่อไปเป็นโพรแทกทิเนียม -234 พร้อมทั้งปล่อยอนุภาคบีตาและรังสีแกมมาออกมาด้วย โพรแทกทิเนียม -234 นี้จะสลายต่อไปอีก อาจเขียนลำดับการสลายของนิวเคลียสยูเรเนียม -238 เป็นอนุกรมได้ดังตาราง 20.1 ในตารางนี้สัญลักษณ์  \displaystyle \alpha , \displaystyle \beta , \displaystyle \gamma     ที่เขียนกำกับลูกศรนั้นแสดงชนิดของอนุภาค หรือรังสีที่ได้จากการสลาย สำหรับตะกั่ว -206 ซึ่งเป็นธาตุสุดท้ายในอนุกรมนี้เป็น ธาตุเสถียร จึงไม่มีการสลายอีกต่อไป

ตาราง 20.1 แสดงลำดับการสลายของธาตุกัมมันตรังสีในอนุกรมของยูเรเนียม -238
 
       นอกจากอนุกรมการสลายของยูเรเนียม -238 ดังกล่าวมาแล้วนั้น พบว่ามีอีก 2 อนุกรมซึ่งเป็นการสลายของธาตุกัมมันตรังสีธรรมชาติ ได้แก่ อนุกรมที่เริ่มต้นด้วยยูเรเนียม -235 โดยมีตะกั่ว -207 เป็นธาตุสุดท้ายในอนุกรมและอนุกรมที่เริ่มต้นด้วยทอเรยม -232 โดยมีตะกั่ว -208 เป็นธาตุสุดท้ายในอนุกรม
ในการสลายของธาตุกัมมันตรังสีในอนุกรมของยูเรเนียม -238 พบว่า อะตอมของพอโลเนียม -218 จะลดจำนวนลงครึ่งหนึ่งในเวลาเพียง 3.05 นาที ในขณะที่อะตอมของเรเดียม -226 ต้องใช้เวลาถึง 1620 ปี จึงจะลดจำนวนลงครึ่งหนึ่ง จะเห็นได้ว่า ธาตุกัมมันตรังสีแต่ละชนิดมีอัตราการสลายต่างกัน การสลายของธาตุเหล่านี้มีกฎเกณฑ์อย่างไร จะได้ศึกษาต่อไปนี้
        ในปี พ.ศ. 2445 รัทเทอร์ฟอร์ด และซอดดี ได้ตั้งสมมติฐานเพื่อใช้อธิบายการสลายของธาตุกัมมันตรังสี ซึ่งอาจกล่าวโดยสรุปได้ดังนี้
        1. ธาตุกัมมันตรังสีจะสลายกลายเป็นธาตุใหม่ด้วย การปล่อยอนุภาคแอลฟา หรืออนุภาคบีตา ธาตุใหม่ที่ได้จากการ
สลายนี้จะมีสมบัติทางเคมีผิดแผกไปจากธาตุเดิมและธาตุใหม่นี้อาจจะเป็นธาตุกัมมันตรังสีก็ได้
        2. การสลายของธาตุกัมมันตรังสีไม่ขึ้นกับสภาพแวดล้อมภายนอกนิวเคลียส เช่น อุณหภูมิ ความดัน เป็นต้น แต่การ
สลายนี้จะเป็นไปตามหลักการทางสถิติที่เกี่ยวข้องกับโอกาสและกระบวนการแบบสุ่ม เช่น ถ้ามีธาตุกัมมันตรังสีอยู่จำนวนหนึ่ง เราไม่สามารถบอกได้ว่า นิวเคลียสในธาตุนั้นจะสลายก่อนหรือหลัง เรากล่าวได้แต่เพียงว่า ทุกนิวเคลียสมีโอกาสเท่าๆกันที่จะสลายในช่วงเวลาหนึ่ง และโอกาสเช่นว่านี้จะไม่ขึ้นกับสภาพแวดล้อมและเวลา นอกจากนี้อัตราการสลายของนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีขณะใดขณะหนึ่งจะแปรผันตรงกับจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีนั้นที่มีอยู่ในขณะนั้น
ถ้าให้    N        เป็นจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีที่มีอยู่ขณะเวลา t
\displaystyle \Delta N    เป็นจำนวนนิวเคลียสที่สลายไปในช่วงเวลาสั้นๆ       \displaystyle \Delta t    นับจากเวลา t
                ดังนั้น    แสดงจำนวนนิวเคลียสที่สลายไปใน 1 หน่วยเวลา ซึ่งปริมาณนี้ก็คืออัตราการสลายของนิวเคลียส ณ เวลา t นั่นเอง ปริมาณนี้เป็นปริมาณที่แปรผันตรงกับจำนวนของนิวเคลียสที่มีในขณะนั้น ดังนั้นจึงอาจเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ว่า

                                   \displaystyle \frac{{\Delta N}}{{\Delta t}}\alpha N
               
โดยที่    \displaystyle \lambda เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน ซึ่งมีค่าขึ้นอยู่กับชนิดของนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสี ค่าคงตัวนี้เรียก <b>ค่าคงตัวการสลาย</b> เครื่องหมายลบแสดงการลดลงของจำนวนนิวเคลียสเมื่อเวลาผ่านไป
ถ้าช่วงเวลา  \displaystyle \Delta t    มีค่าน้อยมาก    \displaystyle (\Delta t \to 0)    เราสามารถใช้ความรู้แคลคูลัส เขียนสมการ (20.1) ได้เป็น
\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta N}}{{\Delta t}} = \frac{{dN}}{{dt}} =&nbsp; - \lambda N                                  (20.2)
หรือ\displaystyle - \frac{{dN}}{{dt}} = \lambda N
ปริมาณ    \displaystyle - \frac{{dN}}{{dt}}    บอกอัตราการลดลงของจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสี ซึ่งก็คืออัตรการแผ่รังสีในขณะหนึ่งนั่นเอง เรียกปริมาณนี้ว่า กัมมันตภาพ  ของธาตุกัมมันตรังสี นิยมแทนด้วยสัญลักษณ์ A ปริมาณนี้หาได้จากจำนวนนิวเคลียสที่สลายต่อวินาที ในระบบเอสไอ A มีหน่วยเป็นเบ็กเคอเรล ใช้สัญลักษณ์ Bq
ในทางปฏิบัตินิยมวัดกัมมันตภาพเป็นหน่วยคูรี ซึ่งมีสัญลักษณ์เป็น Ci โดยนิยามว่า 1 คูรีมีค่าเท่ากับ \displaystyle 3.7x10^{10}   เบ็กเคอเรล จะเห็นได้ว่ากัมมันตภาพ 1 คูรีนั้นมีค่าสูงมาก จึงนิยมใช้หน่วยที่เล็กกว่า คือ มิลลิคูรี และไมโครคูรี ซึ่งมีสัญลักษณ์เป็น mCi และ \displaystyle \mu Ci  ตามลำดับ
        \displaystyle 1mCi = 3.7x10^7 Bq
\displaystyle 1\mu Ci = 3.7x10^4 Bq
ถ้าธาตุกัมมันตรังสีธาตุหนึ่ง สลายโดยปล่อยรังสีบีตา ขณะที่ธาตุนี้มีกัมมันตภาพ 1 คูรี จะสลายให้อนุภาคบีตา \displaystyle 3.7x10^{10}       ตัวต่อวินาที การหากัมมันตภาพของธาตุกัมมันตรังสีนั้น

 
<b>รูป 20.7 เครื่องวัดรังสีแบบหนึ่ง   </b>

อาจทำได้โดยผ่านรังสีไปในแก๊สในเครื่องวัดรังสีให้แก๊สแตกตัวเป็นไอออน อัตราการแตกตัวเป็นไอออนที่วัดได้ขณะหนึ่งจะแปรผันตรงกับกัมมันตภาพของธาตุในขณะนั้น

สมการ (20.2) เป็นสมการอนุพันธ์ จะไม่แสดงวิธีหาคำตอบของสมการนี้โดยวิธีการทางคณิตศาสตร์จะเพียงแต่สรุปว่า
สมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง       N  กับ t  จะอยู่ในรูป
        \displaystyle N = N_0 e^{ - \lambda t}                    (20.3)
เมื่อ    \displaystyle N_0   เป็นจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีเมื่อเริ่มพิจารณา (t = 0)
    N    เป็นจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีที่ยังไม่สลายตัวหรือที่เหลืออยู่เมื่อเวลาผ่านไป t
    e              เป็นค่าคงตัวซึ่งเท่ากับ 2.7182818
    สมการ (20.3) อธิบายการสลายของธาตุกัมมันตรังสีเชิงปริมาณ เมื่อเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง N กับ t ตามสมการนี้จะได้กราฟดังรูป 20.8 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าจำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีจะเหลือน้อยลงเมื่อเวลาผ่านไป เรียกช่วงเวลาของการสลายที่จำนวนนิวเคลียสลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของจำนวนเริ่มต้นว่า <b>ครึ่งชีวิต</b> ของธาตุกัมมันตรังสี นิยมใช้สัญลักษณ์ \displaystyle T_{1/2}    แทนธาตุกัมมันตรังสีชนิดหนึ่งจะมีครึ่งชีวิตคงตัวและมีค่าไม่ซ้ำกับครึ่งชีวิตของธาตุกัมมันตรังสีอื่นๆ ดังตัวอย่างที่แสดงในตาราง 20.1 และ 20.2

<b>ตาราง 20.2 แสดงครึ่งชีวิตของธาตุกัมมันตรังสีบางธาตุ</b>
<b>ธาตุกัมมันตรังสี</b>    <b>ครึ่งชีวิต</b>
โซเดียม - 24    15 ชั่วโมง
ไอโอดีน  - 131    8 วัน
ฟอฟฟอรัส - 32    14 วัน
กำมะถัน - 35    87 วัน
โคบอลต์ - 60    5.3 ปี
คาร์บอน - 14    5570 ปี

                พิจารณากราฟในรูป (20.8) ในตอนเริ่มต้นมีจำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีอยู่    \displaystyle N_0    เมื่อเวลาผ่านไปเท่ากับครึ่งชีวิต จำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีจะลดลงเหลือเพียง \displaystyle \frac{{N_0 }}{2}     และถ้าให้เวลาผ่านต่อไปอีกเท่ากับ \displaystyle T_{1/2}        นั่นคือเวลาผ่านไปเป็น\displaystyle 2T_{1/2}        จากเริ่มต้น จำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีก็จะลดลงอีกครึ่งหนึ่งของจำนวนที่เหลือ กล่าวคือ จะเหลือเพียง \displaystyle \frac{{N_0 }}{4}    ในทำนองเดียวกันถ้าเวลาผ่านไปเป็น
\displaystyle 3T_{1/2}, 4T_{1/2}        จากตอนเริ่มต้นก็จะมีจำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีเหลือเป็น \displaystyle \frac{{N_0 }}{8} , \frac{{N_0 }}{16} ตามลำดับ  นั่นคือถ้าเวลาผ่านไปเป็น \displaystyle n T_1/2     จากตอนเริ่มต้นจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีจะเหลืออยู่เท่ากับ \displaystyle \frac{{N_0 }}{2}^2    นิวเคลียส
 
<b>รูป 20.8 การลดจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสี ณ เวลาต่างๆ</b>

    จากสมการ (20.3) ถ้าพิจารณาเวลา \displaystyle T = T_{1/2}        ขณะนั้นมีจำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสี    
N  เท่ากับ     \displaystyle \frac{{N_0 }}{2}    เมื่อแทนในสมการจะได้
\displaystyle e^{ - \lambda T_{\frac{1}{2}} }&nbsp; = \frac{1}{2}
หรือ    \displaystyle e^{ + \lambda T_{\frac{1}{2}} }&nbsp; = 2
จากนิยามของ log จะได้ว่า
\displaystyle \lambda T_{\frac{1}{2}}&nbsp; = In2
            =    0.693
ดังนั้น    \displaystyle T_{\frac{1}{2}}&nbsp; = \frac{{0.693}}{\lambda }                 (20.4)

สมการ (20.4) แสดงว่า ธาตุกัมมันตรังสีที่มีค่าครึ่งชีวิตมาก จะมีค่าคงตัวการสลายน้อย จึงอาจกล่าวได้ว่าค่าคงตัวของ
การสลายแสดงถึงโอกาสของการสลาของนิวเคลียสกัมมันตรังสีใน 1 หน่วยเวลา เช่น โพรแทกทิเนียม -234 สลายไปเป็นยูเรเนียม -234 จะมีครึ่งชีวิต 1.18 นาที และค่าคงตัวของการสลายนี้คำนวณหาจากสมการ (20.4) ได้เท่ากับ \displaystyle \lambda&nbsp; = \frac{{0.693}}{{1.18x60}} = \frac{1}{{100}}    ต่อวินาที  ซึ่งหมายความว่าในเวลา 1 วินาที โอกาสของการสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสีจะเป็น 1 ใน 100
อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัตินั้น การวัดหาจำนวนนิวเคลียสโดยตรงทำได้ยาก ดังนั้นการศึกษาการสลายของธาตุ
กัมมันตรังสีจากสมการ (20.3) โดยตรงจึงไม่สะดวกในทางปฏิบัติ แต่ถ้าเราแทนสมการนี้ลงในสมการ (20.2) จะพบว่าได้ผลเป็น
\displaystyle \frac{{dN}}{{dt}} =&nbsp; - \lambda N_0 e^{ - \lambda t}
และถ้าให้\displaystyle A_0        เป็นกัมมันตภาพขณะเริ่มต้น (t = 0)
A    เป็นกัมมันตภาพที่เวลา t ใดๆ นับจากเริ่มต้น
จะได้    \displaystyle A_0&nbsp; =&nbsp; + \lambda N_0       
และ    \displaystyle A =&nbsp; - \frac{{dN}}{{dt}}
นั่นคือ    \displaystyle A = A_0 e^{ - \lambda t}                 (20.5)

    ซึ่งสมการ (20.5) นี้มีรูปสมการเหมือนกับสมการ (20.3) และเนื่องจากปริมาณกัมมันตภาพนี้เป็นปริมาณที่สามารถหาได้จากอัตราการแตกตัวเป็นไอออนของแก๊สในเครื่องวัดรังสีดังที่ได้กล่าวมาแล้ว จึงนิยมศึกษาการสลายของธาตุกัมมันตรังสี โดยอาศัยสมการ (20.5)
    นอกจากนี้เราอาจใช้สมการ (20.3) และ (20.5) บอกถึงการเปลี่ยนแปลงปริมาณของธาตุกัมมันตรังสีที่เวลาขณะใดขณะหนึ่งได้ ทั้งนี้เพราะจำนวนนิวเคลียสแปรผันตรงกับมวลของธาตุดังที่ทราบกันอยู่แล้ว เช่น ถ้ามีเรเดียมอยู่ 20 กรัม โดยเรเดียมมีเวลาครึ่งชีวิต 1620 ปี เราจะบอกไดว่า หลังจากนี้ไปเป็นเวลา 1620 ปี จะมีเรเดียมเหลืออยู่ 10 กรัม เป็นต้น
    ดังนั้น ถ้าให้  \displaystyle m_0    เป็นมวลของธาตุกัมมันตรังสีขณะเริ่มต้นพิจารณาซึ่งเวลานั้นจำนวนนิวเคลียสเป็น \displaystyle N_0   
        m    เป็นมวลของธาตุกัมมันตรังสีที่เวลา t ใดๆ นับจากเริ่มต้น ซึ่งที่เวลานี้มีจำนวนนิวเคลียสเป็น N   
    จะได้    \displaystyle m = m_0 e^{ - \lambda t}                                  (20.6)

<b>ตัวอย่าง 20.1</b>  ธาตุกัมมันตรังสีไอโอดีน - 126 มีครึ่งชีวิต 13.3 วัน ถ้าในขณะหนึ่งไอโอดีนนี้มีมวล 10 กรัม จงหาว่า
    ก.  จะต้องใช้เวลานานเท่าใด จึงจะเหลือไอโอดีน - 126 จากการสลายเท่ากับ 2.5 กรัม
    ข.  ถ้าเวลาผ่านไป 20 วัน จะมีไอโอดีน - 126 เหลืออยู่กี่กรัม
<b>วิธีทำ</b>  ก. ระยะเวลาที่ไอโอดีนกัมมันตรังสี 10 กรัม สลายไปบางส่วนและเหลืออยู่ 2.5 กรัม หาได้โดยใช้สมการ (20.6) ซึ่งในที่นี้
            m       =         2.5         กรัม
\displaystyle N_0&nbsp; =&nbsp; 10       กรัม
สำหรับ       \displaystyle \lambda    นั้นหาได้จากสมการ (20.4) ซึ่งในที่นี้ครึ่งชีวิตมีค่า 13.3 วัน
ดังนั้น    \displaystyle \lambda&nbsp; = \frac{{0.693}}{{13.3}}
=    0.0521  ต่อวัน

แทนค่าลงในสมการ    (20.6) จะได้
    2.5 กรัม            =    (10 กรัม) \displaystyle e^{ - (0.0521_µèÍÇѹ)(t)}
หรือ\displaystyle e^{ + (0.0521_µèÍÇѹ)t}  =     4.0
และ (0.0521 ต่อวัน)       t    =    In  4.0
        \displaystyle t = \frac{{1.386}}{{0.0521}}               
                =    26.6   วัน
<b>ตอบ</b> นั่นคือ ต้องใช้เวลา 26.6 วัน ไอโอดีน - 126 จึงจะเหลือ 2.5 กรัม

ข. การหาปริมาณธาตุกัมมันตรังสีที่เหลืออยู่ขณะเวลา t ใดๆ สามารถหาได้จากสมการ (20.6) ในที่นี้
\displaystyle m_0&nbsp; =&nbsp; 10            กรัม
t    =                20  วัน
\displaystyle \lambda&nbsp; = 0.0521        ต่อวัน
        จะได้    \displaystyle m&nbsp; = 10e^{ - (0.0521)(20)}    กรัม
            \displaystyle&nbsp;&nbsp; = 10e^{ - (1.04)}        กรัม
        เนื่องจาก    \displaystyle&nbsp;&nbsp; = e^{ - (1.04)}&nbsp; =&nbsp; 0.353           
นั่นคือ          m    =    3.53      กรัม
<b>ตอบ</b>   นั่นคือ เมื่อเวลาผ่านไป 20 วัน จะมีปริมาณไอโอดีน - 126 เหลืออยู่จากการสลายเท่ากับ 3.53 กรัม

    ตามปกติในการสลายของธาตุกัมมันตรังสีนั้น  การหาโอกาสที่นิวเคลียสจะสลายเป็นไปตามหลักการทางสถิติที่ได้กล่าวมาแล้ว ถ้าเราพิจารณาการทอดลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าใด หน้าหนึ่งขึ้นก็เป็นไปตามหลักการทางสถิติเช่นกัน ดังนั้น เราจึงอาจเปรียบเทียบการสลายของธาตุกัมมันตรังสีได้รับการทอดลูกเต๋าจากกิจกรรม 20.1 ท้ายบท

เมื่อเปรียบเทียบกราฟการทอดลูกเต๋ากับการสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสี จะพบว่ากราฟแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนลูกเต๋าที่เหลือกับจำนวนครั้งของการทอดมีลักษณะเช่นเดียวกับกราฟแสดงจำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีที่เหลือจากการสลาย ณ เวลาต่างๆ จึงกล่าวได้ว่า จำนวนลูกเต๋าที่เหลืออยู่จากการทอดแต่ละครั้งเทียบได้กับจำนวนนิวเคลียสที่เหลือจากการสลาย จำนวนครั้งที่ทอดลูกเต๋าเทียบได้กับช่วงเวลาที่เกิดการสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสี และจำนวนครั้งที่ทอดแล้วทำให้มีลูกเต๋าเหลือเพียงครึ่งหนึ่งของจำนวนเริ่มต้นก็เทียบได้กับครึ่งชีวิตนั่นเอง


 
รูป 20.9 แสดงจำนวนลูกเต๋าที่เหลือจากการทอดแต่ละครั้ง

    จากการทดลองนี้จะเห็นว่า ครึ่งชีวิตของการทอดลูกเต๋าที่แต้มสี 1 ห้า และ 2 หน้านั่นมีค่าไม่เท่ากัน โดยมีค่าครึ่งชีวิตของการทอดลูกเต๋าที่แต้มสี 1 หน้ามีค่ามากกว่าด้วยเหตุนี้ค่าคงตัวการสลายจากการทดลองทั้งสองตอนจึงมีค่าไม่เท่ากันด้วย ชุดลูกเต๋าที่มีสีแต้มสี 1 หน้า เปรียบได้กับนิวเคลียสกัมมันตรังสีชนิดหนึ่ง ส่วนชุดลูกเต๋าที่สีแต้ม 2 หน้า ก็เปรียบได้กับนิวเคลียสกัมมันตรังสีอีกชนิดหนึ่ง

                - ค่าคงตัวการสลายจากการทดลองทั้งสองตอนมีค่าเท่าใด   

ค่าคงตัวการสลายในการทอดลูกเต๋าที่แต้มสีเพียงหน้าเดียวเท่านั้น หมายถึง โอกาสที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าที่แต้มสีนั่นเอง ซึ่งในกรณีที่ลูกเต๋ามี 6 หน้า โอกาสที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าใดหน้าหนึ่งนั้นเท่ากัน ค่าคงตัวการสลายในการทอดลูกเต๋าที่แต้มสี 1 หน้า จึงมีค่าเป็น \displaystyle \frac{1}{6}     ส่วนการทอดลูกเต่าที่แต้มสี 2 หน้านั้น โอกาสที่ลูกเต๋าแต่ละลูกจะหงายหน้าที่แต้มสีจะมีมากขึ้นคือเป็น\displaystyle \frac{2}{6}         เท่ากับ\displaystyle \frac{1}{3}    
    ถ้าใช้ค่าคงตัวการสลายดังกล่าวข้างต้นไปคำนวณหาครึ่งชีวิตโดยอาศัยสมการ (20.4) จะพบว่าครึ่งชีวิตของการทอดลูกเต๋าที่แต้มสี 1 หน้า และ 2 หน้า มีค่าประมาณ 4 และ 2 ตามลำดับ นั่นคือ ถ้าทอดลูกเต๋าที่แต้มสี 1 หน้าไปเพียง 4 ครั้ง จะพบว่ามีลูกเต๋าเหลืออยู่ครึ่งหนึ่งของตอนเริ่มต้น